邓煜、Hani和马骁，证明了狭义希尔伯特第六问题。一团气体，微观上看，是亿万硬球粒子在碰撞，虽然碰撞规律极简单，可粒子太多了没法追踪。但从更大的尺度上看，只用几个量（譬如粒子数、密度），极少数方程（譬如玻尔兹曼方程），你就能对这无数粒子有更整体的把握、更简单的描述。此类方程用处无穷，久经实践考验。但玻尔兹曼当年的推导步骤，从理论上讲，并不牢靠。邓煜从数学上绝对无疑地完善了这个推导，根基从此彻底稳固，还进一步严格推出了宏观的流体方程。

下面我们来一点一点更详细地理解。

邓煜究竟解决的是什么问题？

同样一团气体，从微观视角和宏观视角看，竟然如此不同。

从微观视角来看，我们可以给气体分子建立一个最简单的物理模型和图像：数以万亿个小硬球在碰撞。忽略重力和摩擦力，硬球在真空中匀速直线运动。两球接触时，发生弹性碰撞。类似日常生活中的弹性小球碰撞。碰撞遵循的物理规律非常简单，可以说是牛顿定律极简单的特例。只要你知道了这万亿个小球在第零秒的初始位置和速度，它们未来无论是第一秒还是第一万年的运动轨迹，都是绝对确定的。没有概率，没有随机性，一切都像钟表齿轮一样严丝合缝。尽管单次碰撞很简单，但麻烦在于小球数目太多了。万亿个小球的运动极为复杂。极度确定，又极度复杂。

从宏观层面，你看不到任何微观粒子，你感受到的是压强、体积和温度这样几个宏观参数或物理量。
对于均匀静寂的理想气体，物理学家很早就通过实验发现这些参数之间极其简单的关系。而且非常符合你的直觉。譬如，温度不变，体积变大，压强就会减小；体积不变，温度升高，压强会变大。 如此简单而理想的气体，便称为理想气体。

如果气体稀疏不均，或正在动态扩散，这些关系就不行了。物理学家玻尔兹曼推导出了一个更精准的不朽方程——玻尔兹曼方程。稀疏不均的气体，密度到处变化。玻尔兹曼方程方程的核心物理量叫单粒子分布函数。听上去很复杂，你只需要明白，它是一种跟你熟悉的“密度”相关但更为精细的概念。

这方程虽然比前述理想气体方程要复杂不少，但终归只是涉及有限几个物理量，完全可以用电脑数值求解，远比追踪万亿个小球容易得多。并且在某些特殊极限情况下，你如果聚焦于其中很小的一团气体分子，它们的行为依然很像理想气体。

以简驭繁，这就是物理学的魅力。

上到火箭飞船以高超音速再入大气层，下到汽车极致的空气动力学外形设计，这些方程可谓无所不能。

科学家相信，玻尔兹曼方程本身的形式没问题。这方程毕竟久经实践考验。问题在于，玻尔兹曼当年推导这个方程的步骤，从理论上讲，并不牢固。实验验证再多次，也不能说它必然正确，何况实验本身也必然有误差。数学证明，意味着你得想办法从理论上彻底做实它。玻尔兹曼在推导过程中引入了一个可疑的关键假设，即所谓分子混沌假设（顾名思义，分子混混沌沌，对历史没有记忆，后面会详细解释）。如此有用如此重要的方程，竟建立在并不稳固的根基之上。 与牛顿力学相比，描述气体和流体的学问，似乎掺杂更多经验的成分。从实验物理学和工程技术的角度看，这没多大问题；但从物理学第一性原理和数学、哲学的角度， 这都让人很不满意。而邓煜等人从数学上绝对无疑地完善了这个推导，证明了对于硬球粒子而言，分子混沌假设确实正确无误。硬球粒子是自然而普适的模型。气体动力学的根基稳固了许多。

推导单个玻尔兹曼方程的过程中，自然而然出现了两个未知数（单粒子和双粒子分布函数）。一个方程，涉及两个未知数，没法求解。玻尔兹曼于是提出了这个关键的混沌假设：双粒子分布函数可以完美分解为单粒子的乘积。这样方程中就只有一个单粒子未知函数，可以求解了。
从概率的角度讲，这意味着分子的每一次碰撞都是相互独立的。就是说假设碰撞前的粒子是绝对独立无关联的。这在某种程度上符合直觉。譬如说，一个拥有几千万人口的超级大都市，你在早高峰的地铁里偶然撞到一个人，直觉告诉你，你俩大概率是毫无交集的陌生人。即使你们之间存在某种联系，从比例和实际效果上看，这种“因果记忆”也完全可以忽略不计。玻尔兹曼正是基于这种直觉，认为相撞的两个分子就像茫茫人海中擦肩而过的陌生人，可以完美视为统计独立。从字面上讲，分子混混沌沌，没有历史记忆。

如果站在绝对确定的微观牛顿力学视角，这个假设并不显然。你完全可能碰到熟人，或者跟许多陌生人有共同的朋友。譬如根据六度空间理论，你跟任何一个完全陌生的人之间，最多只隔着五六个人的间接联系。整个城市的所有人早就通过这种间接接触，绑定在了一张错综复杂的网络中。
微观粒子正是如此。粒子A撞了粒子B，B飞出去撞了C，C又弹回来撞了A……更可怕的是，如果这是一个可以绕圈子的闭合空间（这也是数学家们面临的最险恶的舞台），这些分子完全可以绕场一周后，再次与旧相识相撞，形成无穷无尽的死循环。

这些纠缠和碰撞的概率真的可以完全忽略吗？

物理学史上，一种观点认为，即使微观上存在因果记忆，在庞大的统计基数下，其实际效果也完全可以忽略，粒子依然可以视为独立；而另一种观点（严谨的经典力学派）则坚称，这种因果记忆是客观存在的，随着碰撞的累积，纠缠会产生绝对不可抹杀的影响，绝不能在数学上被凭空清零。

更矛盾的是，微观层面的牛顿力学拥有绝对的时间可逆性。如果你瞬间反转所有硬球的运动速度，它们完全可以沿着原路一丝不差地退回去。但众所周知，宏观世界中，时间不可逆。玻尔兹曼方程确实也体现出了时间不可逆。但它并不能解释时间不可逆。因为这方程的时间不可逆，是通过混沌假设人为手动强加进去的。

分子混沌假设要求我们在数学上“假装”两个分子在发生碰撞之前完全不认识，没有任何历史纠缠和记忆。正是这种人为在每次碰撞前强制清除记忆的操作，打破了时间对称性。

从绝对可逆绝对确定的微观前提出发，竟然得到了绝对不可逆充满随机概率的宏观结论。这就是物理学史上著名的洛施密特悖论。

当时的物理学泰斗们（如洛伦兹、庞加莱，以及提出悖论的洛施密特本人）以此为利刃，对玻尔兹曼发起了猛烈的学术围剿：“你的方程凭空捏造了随机性！你违背了牛顿力学！”与此同时，以马赫为首的“唯能论”学派更是从根本上否定原子存在。

其实，玻尔兹曼并非没有同盟。年轻的爱因斯坦在1905年用布朗运动为原子论敲下胜利的定音锤。然而，严重的抑郁症，让玻尔兹曼被反对声彻底淹没。1906年他自缢身亡。

我们到底能不能从绝对确定的牛顿硬球模型出发，用绝对确定的数学论证推导出，而不是手动引入，分子混沌假设？这样推导出玻尔兹曼方程之后能否进一步证明前述的流体力学方程？
这就是希尔伯特第六问题中最重要的子问题。

1975年，数学家兰福德（Oscar Lanford）首次在严格的数学意义上打破了僵局。 他证明了，当硬球系统趋于宏观极限时，分子混沌确实是合法的。问题在于，兰福德的数学工具（级数展开）只能让这个证明在极短的一瞬间内成立。一旦时间继续流淌，微观历史纠缠引发的组合爆炸就会让级数崩溃发散。这就是悬在数学物理界头顶半个世纪的短时魔咒。

2025年，中国数学家邓煜，及其合作者Hani（黎巴嫩人）和马骁（中科大少年班毕业），完成了一项堪称丰碑的壮举。他们彻底打破了短时魔咒，将证明的有效期从极短的一瞬延伸到了任意长的宏观时间，终结了这一世纪悬案。

论文的思路解读

为了证明分子混沌假设在任意长时间内都成立，邓煜、Hani和马骁，需要证明一个核心事实：分子之间因为碰撞而产生的“纠缠记忆”，虽然在微观上真实存在，但它们能够真正影响宏观演化的概率，在小球半径变得无限小，数量变得无限大的宏观极限下，一定会衰减为零。具体而言，这个量的大小由两股相互竞争的力量决定，一个是增长也就是发散的力量，一个是衰减的力量，仿佛拔河比赛。最后衰减战胜了发散，结果归零。

邓煜、Hani和马骁，引入了一个关键的概念：累积量（Cumulants）。

累积量某种程度上跟连通关联函数相关。譬如在一个坐满十万人的喧闹体育场中。普通的关联函数就像是你用分贝仪测出的“全场总音量”或“全场起立总人数”。里面包含了大量球迷因为各自的激动而发出的随机呐喊和盲目起立，这对应着系统中的随机高斯噪音。

而累积量作为更特殊的关联函数，就像一个动作过滤器。它过滤掉了所有互相独立的随机噪音。它探测并保留下来的，只有球场某处，几十个球迷手挽着手步调一致地掀起的人浪。

累积量度量的是系统中那些真正串通纠缠在一起的绝对关联强度。

数学家必须证明，所有代表纠缠记忆误差的高阶累积量，在宏观极限下，必定衰减为零。

在这个证明过程中，数学家面临着两股相互竞争的力量。第一股力量是碰撞历史的“发散项”， 第二股力量是几何的“衰减项”。

当我们试图预测一个粒子在未来的状态时，必须回溯它在过去遇到过谁。如果你沿着时间轴向过去倒推，你会发现它的轨迹就像一棵疯狂生长的倒挂大树：它经历过两个粒子的撞击，而这些粒子又都经历过别的粒子撞击。

这些碰撞拓扑网络，称为“费曼图”或“图论分子”，随着演化时间拉长，其可能的组合种类会呈爆炸式的增长。最可怕的是周期性运动带来“再碰撞（Recollision）”。即几个粒子撞散了之后，在未来又再次相遇了。每多发生一次“再碰撞”，图谱的数量和计算的复杂度就会带来灾难性的无穷大发散。

如何把无穷大发散压制下去？利用几何的衰减效应。

要发生一次破坏分子混沌独立性的“再碰撞”，条件其实相当苛刻。分子A和分子B在撞击后分道扬镳，又飞行了漫长的时间，与其他分子无数次碰撞后，竟然还要在某个极其精确的时间点和空间坐标上，以恰好等于它们极小直径的微小距离再次相遇。

这种苛刻的物理约束，在微积分运算中，表现为一种强大的几何空间体积衰减红利。

数学家发明了一套复杂的“切割算法”，把庞大的碰撞历史图谱大卸八块，精准定位到每一次发生“再碰撞”的节点。他们严格证明了，每一次发生这种违背独立性的纠缠，系统在积分时都会被扣除一个极其庞大的几何体积，表现为粒子直径参数的幂次衰减。

论文的核心就是判定这场拔河比赛的胜负。
论文中还有一个关键技术，是把漫长的时间切成了一段段的薄片。

通过极其精密的组合数学和积分界限控制，数学家证明，在微观硬球宇宙中，由苛刻几何条件带来的“体积衰减项”的力量，绝对地大于由于碰撞历史交织而产生的“图谱发散项”。

正因为衰减战胜发散，那些代表着微观历史纠缠的“累积量”，随着粒子变得无穷小，冲刷归零。

如此一来，数学家就从牛顿硬球出发，在宏观极限下，推导出了分子混沌假设，也就意味着推导出了介观的玻尔兹曼方程。

这一宏观极限，严格说叫玻尔兹曼-格拉德极限，不仅仅小球半径变得无限小，小球数量变得无限大，而且即小球数量乘以小球半径的某个幂次等于常数。这个常数反映了碰撞频率。

玻尔兹曼终于可以安息。他的方程，在经历了120年的风雨后，终于从数学角度获得了永恒的合法性。

不仅如此，数学家又让前述的碰撞常数也趋于无穷大，进一步严格证明了宏观气体的不可压缩纳维-斯托克斯方程和可压缩的欧拉方程。最终在这些现实应用中极为重要的方程与牛顿的硬球碰撞之间，建立了确定无疑的数学联系。